Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки


Введение

В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки M = M (t, ц (t)), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов , имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени t и углу поворота вала , мгновенную величину M (t, ц (t)) в общем случае можно представить в виде скалярного произведения , в котором вектор называемый вектором кинематических характеристик, соответствующим модели , зависит только от t и производных по t, имеющих порядок от первого до k - порядка модели .

При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа A, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления T. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [ti, ti+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле:

. (1)

Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них входят только производные по t, порядков от 1 до k. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка максимальный порядок производных по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость (t) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам.

Допустим, задан упорядоченный массив узлов Рi = (ti, i) (i = 0, ..., n), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [1, 2], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках t1, ..., tn-1 (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия (t0) = (tn) = 0, то он будет минимизировать функционал

,

который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном.

Рассмотрим глобальную переменную t. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно t, накладываемых на кубические параболы {Si (t), i=1,2,…,n}, имеет вид:

  • а) (t) = Si (t) при ti-1 t ti; i =1, 2, …, n. - условие кусочности (t);
  • б) Si (ti-1) = Pi-1; Si (ti) = Pi, i = 1, 2, …, n - условия прохождения сплайна Si (t) через заданные узлы ломаной Pi-1 и Pi;
  • в) , i = 1, …, n-1 - гладкость порядка 1 во внутренних узлах;
  • г), i=1, …, n-1 - гладкость порядка 2 во внутренних узлах;
  • д) S1(t0) = Sn(tn) = 0 - краевые условия в начальном и конечном узлах. (2)

Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам ti, в которых помимо значений Si (ti) заданы также величины первых производных Si(ti). Поскольку в исходной задаче значения первых производных Si(ti) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальную упрощенной модификации метода Гаусса - метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются:

  • 1) расчет коэффициентов матрицы,
  • 2) прямая прогонка,
  • 3) обратная прогонка.

Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении n сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1-3 таблицы 1): сложений 9n-3, умножений 8n-3, делений 4n-2.

Табл.1. Расчет минимального числа расчетных операций при построении n сплайнов

Стадии

Сложения и вычитания

Умножения

Деления

1. Расчет коэффициентов матрицы

5n-2

4n-2

(n-1)

2. Прямая прогонка

3n-1

3n-1

3n-2

3. Обратная прогонка

n

n

1

4а.Переход к каноническому виду по i

5n

5n

0

4б.Переход к каноническому виду по t

19n

28n

2n

ИТОГО при переходе к каноническому виду по ti,

14n-3

13n-3

4n-2

ИТОГО при переходе к каноническому виду по х

28n-3

36n-3

6n-2

Существенной особенностью данного метода является то, что:

  • 1) независимой переменной каждого сплайна Si является нормированная на отрезке [ti-1; ti ] локальная переменная i = (t - ti-1)/hi, где hi =( ti - ti-1),
  • 2) результирующие сплайны Si имеют вид полиномов Эрмита,

При каждом расчете значений сплайна Si переход 1) от глобальной переменной t к локальной i при однократном расчете длин отрезков {} требует выполнения одного вычитания и одного деления.

Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки и при большом числе расчетов значений сплайна Si необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной i. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении n сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п.4а таблицы 1): сложений 5n, умножений 5n.

Таким образом, для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных i, необходимо затратить (сумма пп.1-4а таблицы 1): сложений 14n-3, умножений 13n-3, делений 4n-2.

Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты {C1, C2, C3} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент C0 не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных i, к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п.4б таблицы 1). В сумме для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп.1-3 и 4б таблицы 1): сложений 28n-3, умножений 36n-3, делений 6n-2.

Постановка задачи

Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов C0. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным.

Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную = t - t0.

Постановка задачи. На плоскости O задан набор из (n +1) точки вида , i = 0 ,…, n. Рассмотрим на отрезках [] кубические сплайны:

Si () = C0i + C1i + C2i 2/2 + C3i 3/3, i = 1, …, n. (3)

Необходимо найти коэффициенты C1i, C2i, C3i всех сплайнов Si () (i = 1, …, n) из условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях:

S1(0) = 0; Sn(n) = 0. (4)

Поскольку свободные коэффициенты C0i сплайнов Si () не требуется определять, рассматриваем вместо Si () их первые производные, которые являются квадратными параболами вида:

Di() = (Si ()) = C1i + C2i + C3i 2. (5)

Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов Si (), зависящих от глобальной переменной , сведено к полному расчету коэффициентов C1i, C2i, C3i, i = 1, …, n соответствующих им квадратных парабол {Di()} (5).

Прямой метод частичного решения задачи интерполирования

Для решения задачи полного расчета коэффициентов C1i, C2i, C3i, i = 1, …, n квадратных парабол {Di()}, зависящих от глобальной переменной , предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым.

Для определённости параболу D1() будем называть начальной, параболы D2() - Dn-1() - внутренними, Dn() - конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход.

Прямой ход.

Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы Di() (i = 1, …, n-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент C3i+1 следующей за ней параболы Di+1(), а свободный C1i и линейный C2i коэффициенты параболы Di() выражаются C3i:

C3i = A3i C3i+1 + B3i;

C1i = A1i C3i + B1i;

C2i = A2i C3i + B2i. (6)

Отдельно рассмотрим начальную параболу D1(), внутренние параболы D2() - Dn-1() и конечную Dn().

1. D1(). Из условия S1(0) = 0 следует: (D1(0)) = C21+C310 = 0. Отсюда получаем: C21 = 0. При этом для коэффициента

C21: A21 = В21 = 0. (7)

Из условий прохождения сплайна S1() через точки и следует:

S1 (0= 0) = C01 = 0; S1 (1) = C01+ C11 1 + C21 12/2 + C31 13/3 = 1 .

Вычтем из второго соотношения первое с учетом C21 = 0:

C111 + C31 13/3 = 1, где 1 = 1 - 0.

Из этого равенства выразим линейную зависимость C11 (C31):

C11 = 1 /1 - C31 12/3 = A11 С31 + В11; A11 = -12 /3; В11 = 1 /1. (8)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C11 и C21 начальной параболы через старший C31 следующие:

A11 = -12 /3; В11 = 1/1;

A21 = 0; В21 = 0. (9)

Выражение (6) для старшего коэффициента C31 у начальной параболы определяется при анализе параболы D2().

2. Рассмотрим внутренние параболы Di(), i = 2, …, n -1.

К началу их анализа для предыдущей параболы Di-1() известны линейные зависимости:

C1i-1 = A1i-1 C3i-1 + В1i-1;

C2i-1 = A2i-1 C3i-1 + В2i-1. (10)

Подставим формулы парабол Di-1 () и Di () в условия гладкости второй степени в узле = i-1 для сплайнов Si-1 () и Si () (Si-1(i-1) = Si(i-1); Si-1(i-1) = Si(i-1)):

C1i-1 + C2i-1 i-1 + C3i-1 i-12 = C1i + C2i i-1 + C3i i-12;

C2i-1 + 2C3i-1 i-1 = C2i + 2C3i i-1.

Умножая обе части второго соотношения на (-i-1), складываем его с первым. При этом получим систему уравнений более простого вида:

C1i-1 - C3i-1 i-12 = C1i - C3i i-12;

C2i-1 + 2C3i-1 i-1 = C2i + 2C3i i-1.

Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10):

  • (A1i-1 - i-12)C3i-1 + В1i-1 = C1i - C3i i-12;
  • (A2i-1 +2i-1) C3i-1 + В2i-1 = C2i + 2C3i i-1. (11)

интерполирование сплайн нагрузка

Из условий Si (i-1) = i-1; Si (i) = i получим уравнение:

C1i + C2i(i-1 + i) /2 + C3i(i-12 + i-1i + i2) /3 = i / i, (12)

где i = i - i-1, i = i - i-1.

Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (i-1 + i) /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты C3i-1 и C3i:

(A1i-1 - i-12)C3i-1 + В1i-1 + (A2i-1 + 2i-1) C3i-1(i-1 + i) /2 + В2i-1(i-1 + i) / 2 + C3i(i-12 + i-1i + i2) /3 = i / i - C3i i-12 + 2C3ii-1 (i-1 + i) / 2.

Преобразуя его, выразим C3i-1 через C3i:

C3i-1 [A1i-1 + A2i-1(i-1 + i) /2 + i-1i] = C3i[-(i-12 + i-1i + i2) /3 + i-1i] + i / i-1 - В1i-1 - В2i-1(i-1 + i)/2;

C3i-1 = A3i-1 C3i + B3i-1;

(i)кв =i2; A3i-1 = - (i)кв / (3К); B3i-1 = (i / i - В1i-1 - В2i-1 icp) /К;

icp = (i-1 + i) /2 ; К = A1i-1 + A2i-1icp + i-1i. (13)

После подстановки (13) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости C1i(C3i) и C2i(C3i):

C1i = (A1i-1 - i-12)C3i-1 + В1i-1 +C3i i-12 = (A1i-1 - i-12)(A3i-1 C3i-1 + B3i-1) + В1i-1 +C3i i-12 = A1i C3i + B1i,

Fi = A1i-1 - (i-1)кв; A1i = A3i-1 Fi + (i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1;

C2i = (A2i-1 +2i-1) C3i-1+ В2i-1 - 2C3i i-1 = (A2i-1 +2i-1) (A3i-1 C3i-1 + B3i-1)+ В2i-1 - 2C3i i-1 =A2i C3i + B2i;

где (i-1)у2 =2i-1; Gi = A2i-1 + (i-1)у2; A2i = A3i-1 Gi - (i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C1i и C2i и старшего коэффициента C3i-1 параболы Di-1 через старший коэффициент C3i параболы Di следующие:

(i-1)кв=(i-1) 2; (i)кв =i2; icp = (i-1 + i) /2 ; i = i - i-1, i = i - i-1;

К = A1i-1 + A2i-1icp + i-1i; Fi = A1i-1 - (i-1)кв; (i-1)у2 =2i-1; Gi = A2i-1 + (i-1)у2;

A3i-1 = - (i)кв / (3К); B3i-1 = (i / i - В1i-1 - В2i-1 icp) /К;

A1i = A3i-1 Fi + (i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1;

A2i = A3i-1 Gi - (i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1. (15)

3. Конечная парабола Dn().

К началу ее анализа для предыдущей параболы Dn-1() известны зависимости:

C1n-1 = A1n-1C3n-1 + В1n-1;

C2n-1 = A2n-1 C3n-1 + В2n-1. (16)

Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле = n-1 для сплайнов Sn-1() и Sn() (S n-1(n -1) = Sn(n -1); S n-1(n -1) = Sn(n -1)) получим:

C1n-1 + C2n-1 n-1 + C3n-1 n -12 = C1n + C2n n -1 + C3n n -12;

C2n-1 + 2C3 n-1 n-1 = C2n + 2C3n n -1.

Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-n-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида:

C1n-1 - C3n-1 n -12 = C1n - C3n n -12;

C2n-1 + 2C3n-1 n -1 = C2n + 2C3n n -1.

Подставим в уравнения системы зависимости (16):

  • (A1n-1 - n -12)C3n-1 + В1n-1 = C1n - C3n n-12;
  • (A2n-1 + 2n -1)C3n-1 + В2n-1 = C2n + 2C3n n -1. (17)

Аналогично из условий Sn(n-1) = n -1; Sn(n ) = n получим уравнение:

C1n + C2n(n -1 + n )/ 2 + C3n(n -12 + n -1 n + n 2)/ 3 = n / n, (18)

где n = n - n -1, n = n - n -1.

Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение:

C2n + 2C3n n = 0. (19)

Четыре уравнения системы (17) - (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: C3n-1; C1n ; C2n; C3n. Найдем их величины.

Выразим из (17) C2n (C3n):

C2n = A3n C3n + B3n,

где A3n = - 2n; B3n = 0. (20)

Полученное выражение подставим во второе выражение (17) и найдем зависимость C3n -1 (C3n):

(A2 n -1 + 2n -1)C3 n -1 + В2 n -1 = - 2C3 n n + 2C3 n n -1;

C3 n -1 = A3 n -1 C3 n + B3 n -1,

где A3n -1 = - 2n / (A2 n-1 + 2n -1); B3 n -1 = - В2 n -1 / (A2 n-1 + 2 n -1). (21)

Подставляя данную зависимость в первое уравнение (17), найдем из него выражение для C1n (C3n):

(A1 n -1 - n -12)[-(2 n C3 n + В2 n -1)/(A2 n -1 + 2n -1)] + В1 n -1 = C1n - C3 n n -12;

C1 n = A1 n C3 n + B1 n,

где A1 n = [-2n (A1 n -1 - n-12)/(A2 n -1 + 2 n -1) + n -12];

B1 n =В2 n -1 (A1 n -1 - n -12)/(A2 n -1 + 2n -1)+В1 n -1. (22)

Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (18), найдем из него выражение для коэффициента C3n:

[-2n (A1n -1 - n -12) / (A2 n -1 + 2 n -1) + n -12]C3 n + В2 n -1(A1 n -1 - n -12)/(A2 n -1 + 2n -1) + В1 n -1 - 2C3 n n(n -1 + n)/ 2 + C3 n(n -12 + n -1 n + n 2)/ 3 = n / n;

C3 n =[n/n-В2 n -1(A1 n -1 - n -12)/(A2 n -1 + 2n-1)-В1n -1]/[-2 n(A1n -1- n -12) / (A2 n -1+2n -1)-2n (2n -1+n)/3]. (23)

Таким образом, для конечной параболы Dn() величина старшего коэффициента C3n определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23).

Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {C1n; C2n; C3 n}и значения старшего коэффициента C3 n -1 параболы Dn -1():

C3 n =[n/n-В2 n -1 Е n -В1n -1]/[F n( Е n+(G n+n)/3];

(n-1)кв=n -12; G n=2n -1; H n=1/(A2 n-1+G n); Е n=(A1n -1- (n-1)кв)H n; F n =-2 n;

C1n = [F nЕ n + (n -1)кв] C3 n + В2 n -1Е n +В1 n -1;

C2n = (- 2n) A3n C3n;

C3 n -1 = F n H n C3 n - В2 n -1H n. (24)

Обратный ход.

Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Di(), i = n-1,…,1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу.

Для каждой параболы Di() (i=n-1,…,1), по уже рассчитанному значению старшего коэффициента C3i+1 параболы Di+1() по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент C3i , а по нему - младшие C1i и C2i.

Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости

Начальные данные: координаты точек , (i = 0, …, n), 0 = 0.

Необходимо определить: массивы коэффициенты C1i, C2i, C3i набора сплайнов Si () (i = 1, …, n), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: S0(0) = 0; Sn -1(n) = 0.

Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{A3i}, {В3i}, {A1i}, {В1i}, {A2i}, {В2i}, в которых номера элементов изменяются от 1 до n -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени i, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их:

(i)кв =i2; 1, …, n . (25)

Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов A11, В11, A21, В21 для начальной параболы D1(). Из (9) следует:

A11 = -(1)кв / 3; В11 = (1 - 0)/1; A21 = В21 = 0. (26)

Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам (i = 1, …, n -1). Расчет вспомогательных коэффициентов A1i, В1i, A2i, В2i для внутренней параболы Di(), а также коэффициентов A3i-1, В3i-1 для параболы Di-1() выполняем по формулам (15):

icp = (i-1 + i) /2 ; i = i - i-1, i = i - i-1; К = A1i-1 + A2i-1icp + i-1i;

Fi = A1i-1 - (i-1)кв; (i-1)у2 =2i-1; Gi = A2i-1 + (i-1)у2;

A3i-1 = - (i)кв / (3К); B3i-1 = (i / i - В1i-1 - В2i-1 icp) /К;

A1i = A3i-1 Fi + (i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1;

A2i = A3i-1 Gi - (i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1. (27)

Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов C3n, C1n, C2n, C3 n-1 выполняем по формулам (24):

G n=2n -1; H n=1/(A2 n-1+G n); Е n=(A1n -1- (n-1)кв)H n; F n =-2 n;

C3 n =[n/n-В2 n -1 Е n -В1n -1]/[F n( Е n+(G n+n)/3];

C1n = [F nЕ n + (n -1)кв] C3 n + В2 n -1Е n +В1 n -1;

C2n = (- 2n) A3n C3n;

C3 n -1 = F n H n C3 n - В2 n -1H n. (28)

Шаг 4. Обратный ход. Цикл по параболам с номерами i = n -1, …, 1. Расчет их коэффициентов C1i, C2i, C3i.

C3i = A3i C3i+1 + B3i;

C1i = A1i C3i + B1i;

C2i = A2i C3i + B2i. (29)

Замечание. Если необходимо найти свободные коэффициенты сплайнов C0i, например - для визуализации формы получаемых сплайнов с целью проверки качества получаемых решений, то их проще всего найти по формуле:

C0i = i - C1i i - C2i i2 /2 - C3i i3 / 3, i = 1, …, n. (30)

Суммарные затраты на выполнение прямого сокращенного метода расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов представлены в таблице 2.

Табл. 2. Количество расчетных операций при построении n сплайнов

Стадии

Сложения и вычитания

Умножения

Деления

1. Начальные действия

0

n

0

2. Прямой ход. Расчет переходных коэффициентов A11, В11, A21, В21 для начальной параболы D1() (26)

1

0

2

3. Прямой ход. Расчет в цикле по внутренним параболам (i = 1, …, n -1) переходных коэффициентов A1i, В1i, A2i, В2i, A3i-1, В3i-1 (27)

13(n-2)

8(n-2)

4(n-2)

4. Прямой ход. Расчет коэффициентов конечной параболы C3n, C1n, C2n и коэффициента C3 n-1 (28)

10

14

4

5. Обратный ход (29)

3(n-1)

3(n-1)

0

ИТОГО

16n-18

12n-5

4n-2

Заключение

Выполненные расчеты трудоемкости алгоритма с применением сплайнов Эрмита и алгоритма прямого частичного расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов (таблицы 1 и 2) показывают, что предложенный метод является значительно менее затратным при решении задач управления с прогнозированием.

В сравнении с затратами метода прогонки на построение сплайнов, зависящих от глобальной переменной (что требуется в задаче управления с предсказанием), предложенный метод сокращает число каждой из основных операций примерно в 2 раза.

Список литературы

  • 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г. - 632 с.
  • 2. Гданский Н.И. Геометрическое моделирование и машинная графика. - М.: МГУИЭ, 2003 г. - 236 с.